Aplikasi Matriks Dalam Ilmu Ekonomi

APLIKASI MATRIKS DALAM ILMU EKONOMI

MATEMATIKA BISNIS

Disusun Oleh :

MAHASISWA KREATIF SUKMA

Sekolah Tinggi Ilmu Manajemen Sukma Medan

Tahun 2016/2017

Aplikasi Matriks dalam ilmu ekonomi

(Applied Matrixs in Economics)

1. Persaman linear

Sistem persamaan linear dapat diselesaikan dengan menggunakan Matriks yang formulanya sebagai berikut :

X = A-1B  

Misalkan persamaan linear sebagai berikut :

2x1 + 3x2 +  x3 = 11

    x1+ x2 +  x3      = 6

-2 x1+ x2 +  x3  =  3

Tentukanlah x1,x2dan x3 dari sistem persamaan linear berikut ini :

Solusi 1 :

Dari persamaan linear diatas maka dapat diketahui :

A = [2 3 1 1 1 1 -2 1 1 ]; B = [11 6 3 ]  dan X =  [x1 x2 x3 ] sehingga nilai x dapat diketahui dengan formula X =  A-1B, dimana

A-1= adj.A|A|  ⇒|A| dapat dihitung dengan matlab programe 

>> A= [ 2 3 1 ;1 1 1 ; -2 1 1];

det(A)

ans =

   -6  

karena Det(A) tidak sama dengan nol maka proses menghitung invers A dapat dilakukan .

Adj A = [0 -2 2 -3 4 -1 3 -8 -1 ] maka A-1 =  [0 -2 2 -3 4 -1 3 -8 -1 ]-6

Sehingga   A-1  = [0 1/3 -1/3 1/2 -2/3 1/6 -1/2 4/3 1/6 ]

Untuk menentukan X = A-1.B  

⇒ X =  [0 1/3 -1/3 1/2 -2/3 1/6 -1/2 4/3 1/6 ]  [11 6 3 ]

maka diperolehlah :      x1 =1 ; x2=2 dan x3= 3

Solusi 2 :

Sistem persamaan Linear dapat juga dihitung dengan menggunakan kaidah Cramer yang formulanya sebagai berikut :

x1=∆1∆ ; x2=∆2∆ dan x3= ∆3∆ …………………xn=  ∆n∆ , dimana ∆ ≠0 dan ∆= |A| ; ∆i= Determinan matriks dengan mengganti kolom ke i matriks A dengan kolom suku konstan ( konstanta pada sisi kanan persaman ) .

Contoh . Tentukanlah x1 , x2 dan x3 dari persamaan linear berikut ini :

2 x1 - 5 x2 + 2 x3 = 7

x1 + 2 x2 -4 x3    = 3

3 x1 - 4 x2 -6 x3    = 5

Dengan menggunakan determinan matriks dapatlah ditentukan nilai  x1 , x2 dan x3

Sebagai berikut :

>> ∆ =[ 2 -5 2 ; 1 2 -4 ; 3 -4 -6];

>> det(∆)

ans =

  -46

∆= |2 -5 2 1 2 -4 3 -4 -6 |

Konstanta pada sisi kanan persamaan adalah B = [7 3 5 ]

Untuk menentukan Determinan ∆1, ∆2 dan ∆3 sebagai berikut:

ambil matriks ∆ lalu gantilah konstanta  kolom pertama dengan konstanta pada sisi kanan persaman linear atau biasa ditulis matriks B, begitu selanjutnya untuk  ∆2 ganti kolom ke dua dengan konstanta B dan juga ∆3 ganti kolom ke tiga dengan B sehingga hasilnya sebagai berikut :

∆1 =  |7 -5 2 3 2 -4 5 -4 -6 | lalu hitung dengan Matlab  ⇒ ∆1 = -230

∆2= |2 7 2 1 3 -4 3 5 -6 | lalu hitung dengan matlab  ⇒ ∆2 = -46

∆3=  |2 -5 7 1 2 3 3 -4 5 |  lalu hitung dengan Matlab ⇒ ∆3 = -46 sehingga

x1 = ∆1∆ ⇒ x1 = -230/ -46 ⇒ x1 = 5

x2 = ∆2∆ ⇒ x2 = -46/ -46 ⇒ x2 = 1

x3 = ∆3∆ ⇒ x3 = -46/ -46 ⇒ x1 = 1

Dapat juga dihitung dengan menggunakan program Matlab sebagai berikut :

>> A= [  2 -5 2 ; 1 2 -4 ; 3 -4 -6]

A =

    2    -5     2

    1     2    -4

    3    -4    -6

>> d=[ 7; 3 ; 5 ]

d =

    7

    3

    5

>> delta = det(A)

delta =

  -46

>> delta1 = det([d A(:,2) A(:,3)])

delta1 =

-230.0000

>> delta2 = det([A(:,1) d A(:,3)])

delta2 =

  -46

>> delta3 = det([A(:,1) A(:,2) d])

delta3 =

 -46.0000

>>  % Find the solutions

>>  x1 = delta1./delta

x1 =

   5.0000

>> x2 = delta2./delta

x2 =

    1

>> x3 = delta3./delta

x3 =

   1.000

Solusi 3 :

Solusi persaman linear dengan 3 variabel dan 3 persamaan dengan menggunakan matlab sebagai berikut :

>> A=[ 2 -5 2 ; 1 2 -4 ;3 -4 -6 ];

>> B = [ 7;3;5];

>> X=A\B

X =

   5.0000

   1.0000

   1.0000

PT. Karsa Sains menawarkan 3 jenis bahan bakar yaitu , bensin , solar dan minyak tanah   ketiga daerah P,Q dan R . Pada daerah konsumen P diperoleh laba sebesar

Rp 50,- untuk bensin dan Rp 40,- untuk solar serta Rp 30,- untuk minyak tanah  per liternya .Laba per liter untuk daerah konsumen Q masing – masing adalah Rp 40,- , Rp 30,-dan Rp 20,- .Laba per liter untuk daerah konsumen R masing – masing adalah Rp 30,- . Rp 50,- dan Rp 10,- .  Menurut perhitungan perusahaan  bahwa jumlah  laba untuk ketiga daerah masing – masing adalah Rp122.000,-, Rp 91.000,- dan Rp 69.000,- . Tentukan model matematikanya dan kemudian hitunglah jumlah laba yang terjual untuk ketiga jenis bahan bakar.

Solusi :

1. Model matematikanya

50X1 + 40X2 + 30X3  = 122000

40X1 + 30X2 + 20X3   = 91000

30X1 + 50X2 + 10X3  = 69000

Buat dalam bentuk matriks

A= [5 4 3 4 3 2 3 5 1 ] ; B = [12200 9100 6900 ] ; X =  [X1 X2 X3 ]

Buat dalam bentuk Matlab program

>> A=[50 40 30;40 30 20;30 50 10];

>> B=[122000;91000;69000];

>> X=A\B

X =

     1300

        300

       1500

Maka hasilnya : X1 = 1300 ; X2 = 300 ; X3 = 1500

2. INPUT – OUTPUT ANALISYS ( ANALISA MASUKAN – KELUARAN)

Kinerja ekonomi suatu  negara biasanya dilihat dari laju pertumbuhan Produk Domestik Bruto (Gross Domestic Product). Namun PDB tidak bisa menginformasikan hubungan sektor-sektor ekonomi tersebut. Instrumen statistik yang mampu mengidentifikasikan hubungan antar-kegiatan ekonomi sebagaimana yang dimaksud adalah Tabel Input-Output (Tabel I-O).

Indonesia mulai menggunakan tabel I-O pada tahun 1969, padahal Tabel I-O ini sudah digunakan Oleh Professor Wassily Leontief (Pemenang Nobel Ekonomi 1973) pada akhir 1930-an. Lembaga yang pertama kali melakukan exercise/latihan penyusunan tabel I-O adalah LIPI. Keterbatasan tabel I-O LIPI adalah dalam penggunaan Non Survey Method

( Metode tidak langsung).  Hingga pada tahun 1971, LIPI melakukan  kerja sama dengan Badan Pusat Statistik  (BPS),Bank Indonesia  dan Institute of Developing Economics (IDE) untuk melakukan penyusunan I-O yang sebenarnya dengan menggunakan Survey Method

( Metode Langsung)..

Prinsip dasar dalam analisis masukan -   keluaran(I-O) adalah , bagaimana caranya  menentukan agar setiap n sektor dalam proses ekonomi tepat memproduksi sejumlah jenis barang untuk dapat memenuhi permintaan dari sektor – sektor lain dan sisanya untuk keperluan masyarakat ( permintaan akhir ) .

Kesimpulan yang dapat ditarik ialah bahwa setiap sektor dalam perekonomian saling berkaitan , dengan kata lain  sektor yang satu tergantung pada sektor yang lain .

Misalnya  perekonomian suatu daerah dinyatakan dengan ketergantungan antara sektor pertanian , sektor pabrikasi dan sektor jasa . Ketergantungan antara ketiga sektor dapat dilihat pada tabel berikut ini :

	Pabrikasi	Pertanian	Jasa	Permintaan Akhir	Jumlah keluaran
Pabrikasi	30	50	10	60	150
Pertanian	20	60	30	90	200
Jasa	10	40	50	80	180

Penjelasan tabel diatas sebagai berikut :

1.Menurut baris :

a. Keluaran untuk sektor pabrikasi sebanyak 150  unit yang digunakan untuk :

Sektor Pabrikasi itu sendiri sebanyak                30 unit

Sektor pertanian sebanyak                                50 unit

Sektor Jasa sebanyak                                       10 unit

Sedangkan sisanya untuk permintaan akhir      60 unit

b.Keluaran untuk sektor Pertanian sebanyak  200 unit yang digunakan untuk :

Sektor Pabrikasi  sebanyak                               20 unit

Sektor Pertanian itu sendiri  sebanyak              60  unit

Sektor Jasa sebanyak                                       30 unit

Sisanya untuk permintaan akhir sebanyak        90 unit         

c.Keluaran untuk sektor jasa sebanyak 180 unit yang digunakan untuk :        

Sektor Pabrikasi sebanyak                                10  unit

Sektor Pertanian sebanyak                                40 unit

Sektor Jasa itu sendiri sebanyak                        50 unit

Sisanya untuk permintaan akhir sebanyak         80 unit   

Metode untuk menyelesaikan Analisis  masukan – keluaran sebagai berikut :

Misalkan keluaran  sektor ke-i sebanyak xi digunakan untuk n sektor dan sisanya ,

ci, aij,adalah koefisien masukan sektor ke –i dan keluaran sektor ke – j dimana

i = 1,2 , 3,… , n dan j = 1, 2 ,3 …,n ) . Jumlah keluaran sektor  ke i dinyatakan dengan persamaan :

xi = ai1x1+ ai2x2+ …. + ainxn+ ci atau 

x1 = a11x1+ a12x2+ …. + a1nxn+ c1

x2 = a21x1+ a22x2+ …. + a2nxn+ c2

.                                                    .

.                                                    .

.                                                    .

xn = an1x1+ an2x2+ …. + annxn+ cn ,

persamaan ini dapat dituangkan dalam bentuk matriks sebagai berikut :

[x1 x2 . . . xn ]= [a11 a12… a1n a21 . . . a22… a2n an1 an2… ann ] [x1 x2 . . . xn ]+ [c1 c2 . . . cn ] atau X = AX + C

dimana X = [x1 x2 . . . xn ] ; C =  [c1 c2 . . . cn ]

dan A =  [a11 a12… a1n a21 . . . a22… a2n an1 an2… ann ] 

maka untuk menentukan nilai X dapat dihitung dengan menggunakan formula berikut ini :

X dapat dihitung dengan cara sebagai berikut :

X = AX + C

X – AX = C ⇒( I-A )X=C dimana I =  matriks satuan berdimensi n x n

I - A = matriks Teknologi berdimensi n x n

A = matriks koefisien berdimensi n x n

C = matriks permintaan akhir

I – A bukan matriks singular atau | I – A | ≠0 sehingga X = ( I-A)-1 C .

Dengan demikian dapatlah ditentukan jumlah keluaran setiap sektor yaitu :

X = [x1 x2 x3 ]

Soal :

Hitunglah X jika diketahui :

A =  [0,3 0,4 0,2 0,2 0 0,5 0,1 0,3 0,1 ] ; C =  [1000 40 50 ]

Solusi :

I- A = [1 0 0 0 1 0 0 0 1 ] - [0,3 0,4 0,2 0,2 0 0,5 0,1 0,3 0,1 ] ⇒ I – A =  [-0,7 -0,4 -0,2 0,2 1 -0,5 -0,1 -0,3 0,9 ]

X = ( I-A)-1 C  ⇒ ( I-A)-1 dapat dihitung sebagai berikut :

( I-A)-1  = adj ( I -A )|(I -A )| maka terlebih dahulu ditentukan |I-A| dengan Matlab programe

|I-A| =[0.7,-0.4,-0.2 ; -0.2,1,-0.5;-0.1,-0.3,0.9];

>> det(I-A)

ans =

   0.4010

sedangkan adj (I-A ) dihitung dengan menggunakan formula ( Aij)’ sehingga terlebih dahulu ditentukan Matriks Kofaktornya sebagai berikut :

I – A = [-0,7 -0,4 -0,2 0,2 1 -0,5 -0,1 -0,3 0,9 ]

A11= 0,75  A12 =  0,23

A13= 0,16 ; A21= 0,42 ; A22 = 0,61 ; A23=  0,25

A31= 0,4 ; A32= 0,39  ; A33 = 0,62. sehingga matriks kofaktornya adalah :

(I-A)’ = [0,75 0,42 0,40 0,23 0,61 0,39 0,16 0,25 0,62 ]  

⇒ (I-A)-1 = [0,75 0,42 0,40 0,23 0,61 0,39 0,16 0,25 0,62 ]                  0.4010

⇒ (I-A)-1  =  [1,87 1,05 0,10 0,57 1,52 0,97 0,40 0,62 1,55 ]

X= [x1 x2 x3 ]=  [1,87 1,05 0,10 0,57 1,52 0,97 0,40 0,62 1,55 ]  [1000 40 50 ]

⇒ [x1 x2 x3 ] =  [1,87x1000+ 1,05x40+ 0,10 x50 0,57x1000+ 1,52x 40+ 0,97x 50 0,40x 1000+ 0,62x 40+ 1,55x 50 ] ⇒ [x1 x2 x3 ] =  [1917 679,3 502,3 ]

1.MATRIKS TRANSAKSI PEREKONOMIAN NEGARA ATMAJAYA

Sektor-sektor	Pertanian	Industri	Jasa	Permintaan Akhir	Total Output
Pertanian	40	70	10	80	200
Industri	30	160	120	270	580
Jasa	20	100	110	240	470
Nilai Tambah	110	250	230	140	730
Total Output	200	580	470	730	1980

Hitunglah total output untuk masing – masing sektor dan nilai tambahnya jika ditargetkan permintaan akhir terhadap sektor pertanian , Industri dan Jasa masing – masing adalah 200,600, 400 . Susunlah matriks transaksi yang baru ( boleh menggunakan matlab program )

Solusi :

Step 1. Tentukan matriks teknologi

Matriks teknologi dapat dihitung dengan cara sebagai berikut :

A= [40/200 70/580 10/470 30/200 160/580 120/470 20/200 100/580 110/470 ] ⇒ A =  [0,20 0,12 0,02 0,15 0,28 0,26 0,10 0,17 0,23 ]

Berdasarkan rumus X = ( I-A)-1.b

I.Menghitung matriks teknologi dengan matlab sbb :

A= [40/200 70/580 10/470 30/200 160/580 120/470 20/200 100/580 110/470 ]

⇒ A = [0,20 0,12 0,02 0,15 0,28 0,26 0,10 0,17 0,23 ] atau

>> A=[40/200 70/580 10/470;30/200 160/580 120/470;20/200 100/580 110/470]

A =

   0.2000    0.1207    0.0213

   0.1500    0.2759    0.2553

   0.1000    0.1724    0.2340

II. Menghitung ( I-A )

>> B=rref(A)-A

B =

   0.8000   -0.1207   -0.0213

  -0.1500    0.7241   -0.2553

  -0.1000   -0.1724    0.7660

III.Menghitung determinan matriks

>> det(B)

ans =

   0.3895

IV.Menghitung kofaktor matriks ( I-A) atau matriks B

% A11

>> M=B;

>> M(1,:)=[ ];

>> M(:,1)=[ ];

>> C=(-1)^(1+1)*det(M);

>> C=(-1)^(1+1)*det(M)

C =

   0.5106

% A12

>> M=B;

>> M(1,:)=[ ];

>> M(:,2)=[ ];

>> C=(-1)^(1+2)*det(M)

C =

    0.1724

% A13

>> M=B;

>> M(1,:)=[ ];

>> M(:,3)=[ ];

>> C=(-1)^(1+3)*det(M)

C =

     0.0983

% A21

>> M=B;

>> M(2,:)=[ ];

>> M(:,1)=[ ];

>> C=(-1)^(2+1)*det(M)

C =

     0.0961

% A22

>> M=B;

>> M(2,:)=[ ];

>> M(:,2)=[ ];

>> C=(-1)^(2+2)*det(M)

C =

      0.6106

% A23

>> M=B;

>> M(2,:)=[ ];

>> M(:,3)=[ ];

>> C=(-1)^(2+3)*det(M)

C =

       0.1500

% A31

>> M=B;

>> M(3,:)=[ ];

>> M(:,1)=[ ];

>> C=(-1)^(3+1)*det(M)

C =

      0.0462

% A32

>> M=B;

>> M(3,:)=[ ];

>> M(:,2)=[ ];

>> C=(-1)^(3+2)*det(M);

C =

        0.2074

% A33

>> M=B;

>> M(3,:)=[ ];

>> M(:,3)=[ ];

>> C=(-1)^(3+3)*det(M);

C =

          0.5612

Maka matriks kofaktor (I-A) sbb :

>>D=[ 0.5106 , 0.1724 ,0.0983; 0.0961, 0.6106, 0.1500; 0.0462, 0.2074, 0.5612]

D =

   0.5106    0.1724    0.0983

   0.0961    0.6106    0.1500

   0.0462    0.2074    0.5612

V.Jadikan matriks D menjadi matriks transpose

>> D'

ans =

   0.5106    0.0961    0.0462

   0.1724    0.6106    0.2074

   0.0983    0.1500    0.5612

D’= Adjoint matriks D

VI. Tentukan invers matriks D

D-1= 10.3895(D‘ )⇒ D-1= 10.3895[0.5106 0.0961 0.0462 0.1724 0.6106 0.2074  0.0983  0.1500 0.5612 ]

⇒ D-1= [0.5106/0.3895 0.0961/0.3895 0.0462/0.3895 0.1724/0.3895 0.6106/0.3895 0.2074/0.3895  0.0983/0.3895  0.1500/0.3895 0.5612/0.3895 ]

⇒ D-1=

D=[0.5106/0.3895 0.0961/0.3895 0.0462/0.3895; 0.1724/0.3895 0.6106/0.3895 0.2074/0.3895;0.0983/0.3895 0.1500/0.3895 0.5612/0.3895]

D =

   1.3109    0.2467    0.1186

   0.4426    1.5677    0.5325

   0.2524    0.3851    1.4408

Jika dihitung invers matriks B maka akan diperoleh hasil sebagai berikut:

>> B=rref(A)-A

B =

   0.8000   -0.1207   -0.0213

  -0.1500    0.7241   -0.2553

  -0.1000   -0.1724    0.7660

>> inv(B)

ans =

   1.3111    0.2468    0.1187

   0.3606    1.5679    0.5326

   0.2523    0.3851    1.4409

⇒ [x1 x2 x3 ] = inv(B) [200 600 400 ] maka

⇒ [x1 x2 x3 ]= [1.3111 0.2468 0.1187 0.3606 1.5679  0.5326  0.2523  0.3851 1.4409 ][200 600 400 ]

⇒ [x1 x2 x3 ]= [0.4578 1.2259  0.8579 ]

>> Z=[200;600;400]

Z =

  200

  600

  400

>> X=inv(B)*Z

X =

  1.0e+03 *

   0.4578

   1.2259

   0.8579

Maka total output masing – masing sector sebagai berikut :

1. Sektor pertanian = 457,8
2. Sektor industri   = 1225,9
3. Sektor jasa         = 857,9

Tentukan Nilai tambah ( added value )

Nilai tambah untuk masing-masing sector sebagai berikut :

1. Sektor pertanian = ( 1- 0,20 – 0,15 – 0,10 )(457,8) =  251.7900
2. Sector industry   =  ( 1 -0,12 – 0,28 – 0,17 )( 1225,9)= 527.1370
3. Sektor jasa         =  ( 1- 0,02 – 0,26 – 0,23 )( 857,9) =  420.3710

Dari hasil perhitungan yang dilakukan diatas, maka matriks transaksi yang baru  hasilnya dapat ditampilkan pada table dibawah ini.

MATRIKS TRANSAKSI YANG BARU

Sektor	Pertanian	Industri	Jasa	Permintaan Akhir	Total output
Pertanian Industri Jasa	91.5400 68.6550 45.7700	149.0520 347.7880 211.1570	17.1580 223.0540 197.3170	200 600 400	457,7 1242,1 857,9
Nilaitambah (added value)	251.7350	534.1030	420.3710
Total output	457,7	1242,1	857,9

3 KETERKAITAN KE DEPAN ATAU KE HILIR (FORWARD LINKAGE)

        DAN  KETERKAITAN KE BELAKANG ATAU KE HULU (BACKWARD LINKAGE)

Dengan memperhatikan matriks ( I – A )-1 dapat dihitung angka keterkaitan ke belakang (hulu) ataupun angka keterkaitan ke depan (hilir) dari suatu jenis sektor yang ada di dalam tabel input-output.

Keterkaitan ke belakang (hulu) atau backward linkage ( BL ) adalah hubungan antara suatu sektor tertentu dengan sektor yang menyediakan input-nya. Keterkaitan ke belakang ini menggambarkan tingkat penyerapan sektor tertentu terhadap output dari sektor-sektor lain. Sebaliknya keterkaitan ke depan (hilir) atau fordward linkage (FL) adalah hubungan antara persediaan output sektor tertentu yang dibeli dan digunakan oleh sektor-sektor lain sebagai input antara.

Menurut rumus Rasmussen bahwa backward linkage dan forward linkage dapat dihitung sebagai berikut:

Dari matriks invers ( I – A ) atau  ( I - A )-1 , maka rumus untuk menghitung angka Backward Linkage adalah:

 BL  = [ n kali jumlah angka matriks per kolom ] /  [ jumlah seluruh  angka dalam matriks invers ( I – A )  ].     

atau

BL = n . Jumlah angka matriks perkolomjumlah seluruh  angka dalam matriks invers ( I – A )  ]

Rumus angka Forward Linkage adalah: 

FL  =  [ n kali jumlah angka matriks per baris ]  /  [ jumlah seluruh angka dalam matriks invers

( I – A )  ] 

atau

FL = n. jumlah angka matriks per barisjumlah seluruh angka dalam matriks invers ( I – A )

n  =  banyaknya sektor yang ada dari data input-output.

Berdasarkan angka keterkaitan ini dapat dipilih jenis sektor industri dalam perekonomian suatu Negara dengan kriteria sebagai berikut:

JENIS SEKTOR INDUSTRI	ANGKA KETERKAITAN
	BL	FL
INDUSTRI ANTARA INDUSTRI HULU INDUSTRI HILIR INDUSTRI KONSUMSI	>1            < 1             > 1             <  1	>1 >1 < 1 < 1

Contoh 4.2.1.

Diketahui matriks input-output antar 3 sektor  berikut :

I-A  = [ -0,7 -0,20 -0,10 0,10 0,70 -0,20 -0,20 0,00 0,85 ]

Jika diketahui bahwa nilai tambah ( added value ) setiap sektor ( dalam jutaan rupiah )yakni:

sektor I sebesar     = 14000

sektor II sebesar    = 12000

sektor III sebesar   = 16500

maka tentukanlah:

a.  Matriks teknologi dan permintaan akhir setiap sektor ?

b.  BL  dan  FL  dari setiap sektor ?

Solusi :

a.  Hitung Matriks Teknologi

I – ( I- A ) = [ 1 0 0 0 1 0 0 0 1 ] - [ -0,70 -0,20 -0,10 0,10 0,70 -0,20 -0,20 0,00 0,85 ]

Sehingga matriks teknologi

I – ( I- A ) = [ 0,30 0,20 0,10 0,10 0,30 0,20 0,20 0,00 0,15 ]

Total koefisien input adalah  0,60      0,50      0,45 

Koefisien nilai tambah setiap sektor diperoleh dari:

1  -  ( jumlah angka koesien matriks teknologi setiap sektor ), sehingga :

Sektor  I  =  1  -  ( 0,30  +  0,10  +  0,20  )  =  0,40

dan jika XI  adalah total output sektor I, maka :

0,40 XI  =  14000  ➔  XI  =  14000 / 0,40  =  35000 

Sektor II  =  1  -  ( 0,20  +  0,30  +  0,00 )  =  0,50  

dan jika XII adalah total output sektor  II, maka :

0,50 XII  =  12000 ➔   XII  =  12000 / 0,50  =  24000 

Sektor III  =  1  -  ( 0,10  +  0,20  +  0,15 )  =  0,55  

dan jika XIII adalah total output sektor III, maka :

0,55 XIII  =  16500  ➔  XIII  =  16500 / 0,55  =  30000

Permintaan akhir setiap sektor dapat dihitung dengan menggunakan rumus  ( I – A ) X  

yang hasilnya sebagai berikut :

[ -0,70 -0,20 -0,10 0,10 0,70 -0,20 -0,20 0,00 0,85 ][35000 24000 30000 ]

Dari perhitungan diatas diperoleh hasil permintaan akhir sebagai berikut :

[ 0,70(35000) -0,20(24000) -0,10(30000) -0,10(35000) +0,70(24000) -0,20(30000) -0,20(35000) +0,00 +0,85(30000) ]

[24500-4800-3000 -3500+16800 -6000 -7000+0+25500 ]   = [16700 7300 18500 ]

Sehingga hasil permintaan akhir masing – masing sektor adalah :

Sektor  I = 16700

Sektor  II = 7300

Sektor  III= 18500

Untuk menghitung backward dan forward linkage, terlebih dahulu harus dihitung invers matriks ( I – A ).

Terlebih dahulu dihitung determinan matriks ( I – A )  hasilnya dengan Matlab programe sebagai berikut :

>> A=[0.70 -0.20 -0.10 ;-0.10 0.70 -0.20 ; -0.20 0.00 0.85]

A =

   0.7000   -0.2000   -0.1000

  -0.1000    0.7000   -0.2000

  -0.2000         0    0.8500

>> det (A)

ans =

   0.3775

Selanjutnya menghitung adjoint matriks ( I – A )dengan sebagai berikut:

Hitung kofaktor matriks,

Aij= [ |M11| |M12| |M13| |M21| |M22| |M23| |M31| |M32| |M33| ]

|M11|

>>  A=[0.70 -0.20 -0.10 ;-0.10 0.70 -0.20 ; -0.20 0.00 0.85];

>>  M=A;

>>  M(1,:)=[];

>> M(:,1)=[ ];

>>  C=det(M)

C =

  0.5950

|M12|

>>  A=[0.70 -0.20 -0.10 ;-0.10 0.70 -0.20 ; -0.20 0.00 0.85];

>>  M=A;

>>  M(1,:)=[];

>>  M(:,2)=[ ];

>>   C=det(M)

C =

  -0.1250

|M13|

A=[0.70 -0.20 -0.10 ;-0.10 0.70 -0.20 ; -0.20 0.00 0.85];

>>  M=A;

>>  M(1,:)=[];

>>  M(:,3)=[ ];

>>   C=det(M)

C =

   0.1400

|M21|

>>  A=[0.70 -0.20 -0.10 ;-0.10 0.70 -0.20 ; -0.20 0.00 0.85];                                      

>>  M=A;

>>  M(2,:)=[];

>>  M(:,1)=[ ];

>>   C=det(M)

C = -0.1700

|M22|

>> A=[0.70 -0.20 -0.10 ;-0.10 0.70 -0.20 ; -0.20 0.00 0.85];

>>  M=A;

>>  M(2,:)=[];

>>  M(:,2)=[ ];

>>   C=det(M)

C = 0.5750

|M23|

>>  A=[0.70 -0.20 -0.10 ;-0.10 0.70 -0.20 ; -0.20 0.00 0.85];                                      

>>  M=A;

>>  M(2,:)=[];

>>  M(:,3)=[ ];

>>   C=det(M)

C = -0.0400

|M31|

>> A=[0.70 -0.20 -0.10 ;-0.10 0.70 -0.20 ; -0.20 0.00 0.85];

>>  M=A;

>>  M(3,:)=[];

>>  M(:,1)=[ ];

>>   C=det(M)

C = 0.1100

|M32|

>>  A=[0.70 -0.20 -0.10 ;-0.10 0.70 -0.20 ; -0.20 0.00 0.85];                                      

>>  M=A;

>>  M(3,:)=[];

>>  M(:,2)=[ ];

>>   C=det(M)

C = -0.1500

|M33|

>> A=[0.70 -0.20 -0.10 ;-0.10 0.70 -0.20 ; -0.20 0.00 0.85];

>>  M=A;

>>  M(3,:)=[];

>>  M(:,3)=[ ];

>>   C=det(M)

C = 0.4700

Hasil minor matriks Mij= [ 0.5950 -0.1250 0.1400 -0.1700  0.5750 -0.0400 0.1100 -0.1500 0.4700 ]

kofaktor matriks adalah  Aij= [ 0.5950 0.1250 0.1400 0.1700  0.5750 0.0400 0.1100 0.1500 0.4700 ]

Selanjutnya adalah menghitung  adjoint matriks ( I – A ) yang merupakan matriks kofaktor yang ditranspose dapat ditunjukkan berikut ini:

Ajdoint matriks ( I - A ) =  [ 0.5950 0.1700 0.1100 0.1250  0.5750 0.1500 0.1400 0.0400 0.4700 ]

( I-A)-1  = adj ( I -A )|(I -A )| ⟹[ 0.5950 0.1700 0.1100 0.1250  0.5750 0.1500 0.1400 0.0400 0.4700 ]0.3775

( I-A)-1  =  [1,5762 0,4503 0,2914  0,3311 1,5232 0,3974 0,3709 0,1060 1,2450 ]

( Perhatikan angka dalam matriks ini  semua positif dan angka  pada diagonal   >  1  ).

Berdasarkan invers dari matriks Leontief (Wassily Leontief (1905 - 1999) maka

( I – A ) diperoleh:

 
    1,5762      0,4503      0,2914         2,3179

    0,3311      1,5232      0,3974         2,2517

    0,3709      0,1060      1,2450         1,7219

    2,2782      2,0795      1,9338         6,2915

b. Hitung BL dan FL masing – masing sector.

Jadi Backward Linkage dapat dihitung sebagai berikut:

Sektor I     =   (  3 X 2,2782/6,2915 ) = 1,0863  

Sekor II     =    (  3 X 2.0795/6,2915 ) = 0,9916  

Sektor III   =   (  3 X 1,9338/6,2915 ) = 0,9370  

Forward Linkage :

Sektor I     =   ( 3 X 2,3179/6,2915 ) = 1,1053

Sektor II    =   (  3 X 2,2517/6,2915 ) = 1,0737

Sektor III   =   (  3 X 1,7219/6,2915 ) = 0,8211

Berdasarkan perhitungan diatas dapat dibuat kesimpulan sebagai berikut :

Sektor I termasuk industri antara, Sektor II termasuk industri hulu, dan Sektor III termasuk industri konsumsi.

c. Permintaan akhir dan total output yang baru :   

Sektor I, II, dan III masing-masing:

    Sektor I    : naik 10 % dari 16033,33 menjadi 18370

    Sektor II    : naik 30 % dari 3300 menjadi 4290

    Sektor III    : naik 10 % dari 18500 menjadi 20350